Razão e proporção

Razão e proporção são conceitos utilizados para comparar quantidades e resolver problemas envolvendo relações entre valores.

São muito comuns em questões de:

• porcentagem;
• regra de três;
• escalas;
• velocidade;
• divisão proporcional;
• problemas do cotidiano.

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1. Razão

Razão é a comparação entre duas grandezas por meio de uma divisão.

Se temos dois números a e b, com b ≠ 0, a razão é:

a/b

Também podemos escrever:

a : b

Exemplo

Uma sala possui 20 alunos, sendo 12 mulheres e 8 homens.

A razão entre mulheres e homens é:

12/8 = 3/2

Portanto:

3 : 2

🚨 Pegadinha: A ordem dos números importa.

A razão entre mulheres e homens é diferente da razão entre homens e mulheres.

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2. Termos de uma razão

Na razão:

a/b

temos:

• a → antecedente
• b → consequente

Exemplo

Na razão:

5/2

• 5 → antecedente
• 2 → consequente

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3. Proporção

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Exemplo:

2/3 = 4/6

As duas razões representam o mesmo valor.

Podemos escrever:

2 : 3 = 4 : 6

🧠 Dica

Razão → comparação

Proporção → igualdade entre razões

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4. Propriedade fundamental das proporções

Em uma proporção:

a/b = c/d

podemos fazer a multiplicação cruzada:

a · d = b · c

Exemplo

2/5 = x/15

Multiplicando em cruz:

2 · 15 = 5 · x

30 = 5x

x = 6

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5. Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, mantendo a relação de proporcionalidade, quando uma aumenta, a outra também aumenta.

Exemplo

Se 1 kg de arroz custa R$ 5:

• 2 kg → R$ 10
• 3 kg → R$ 15
• 4 kg → R$ 20

Quanto maior a quantidade, maior o preço.

Relação

Preço ∝ quantidade

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6. Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, mantendo a relação de proporcionalidade, quando uma aumenta, a outra diminui.

Exemplo

Se determinado trabalho precisa ser realizado por uma equipe:

• mais trabalhadores → menos tempo;
• menos trabalhadores → mais tempo.

Nesse caso, número de trabalhadores e tempo são grandezas inversamente proporcionais, considerando as demais condições constantes.

🚨 Pegadinha: Não basta uma grandeza aumentar e a outra diminuir para afirmar automaticamente que são inversamente proporcionais. É necessário existir uma relação de proporcionalidade inversa.

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7. Regra de três simples

A regra de três é utilizada para descobrir um valor desconhecido quando existe uma relação proporcional entre grandezas.

Exemplo

Se:

3 cadernos → R$ 15

Quanto custam 5 cadernos?

Montando a proporção:

3/5 = 15/x

Multiplicando:

3x = 75

x = 25

Logo:

5 cadernos → R$ 25

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8. Regra de três direta

Quando as grandezas são diretamente proporcionais:

mais → mais

ou

menos → menos

Exemplo

2 horas → 100 km

4 horas → x

Se a velocidade for constante:

2/4 = 100/x

Logo:

x = 200 km

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9. Regra de três inversa

Quando as grandezas são inversamente proporcionais:

mais → menos

ou

menos → mais

Exemplo

Uma tarefa é realizada por 4 trabalhadores em 12 dias.

Se forem 8 trabalhadores, mantendo as mesmas condições:

4 × 12 = 8 × x

48 = 8x

x = 6 dias

Portanto, serão necessários 6 dias.

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10. Divisão proporcional

Uma quantidade pode ser dividida proporcionalmente entre pessoas ou grupos.

Exemplo

Dividir 100 em partes proporcionais a:

2 : 3

Somamos as partes:

2 + 3 = 5

Cada parte vale:

100 ÷ 5 = 20

Então:

• primeira parte → 2 × 20 = 40
• segunda parte → 3 × 20 = 60

Resultado:

40 e 60

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11. Escala

A escala representa a relação entre uma medida no desenho/mapa e a medida real.

Exemplo:

Escala 1 : 100

Significa que:

1 unidade no desenho = 100 unidades na realidade

Se uma parede possui 5 cm no desenho:

5 × 100 = 500 cm

Ou seja:

5 metros

🚨 Pegadinha: É fundamental manter as unidades de medida compatíveis antes de realizar os cálculos.

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12. Como resolver questões de razão e proporção

Siga estes passos:

1. Identifique as grandezas envolvidas.
2. Organize os valores na mesma ordem.
3. Verifique se a relação é direta ou inversa.
4. Monte a proporção.
5. Resolva a multiplicação ou divisão.
6. Confira se a resposta faz sentido.

🧠 Dica

Antes de fazer a conta, pergunte:

Se uma grandeza aumentar, a outra deve aumentar ou diminuir?

Isso ajuda a identificar se a relação é direta ou inversa.

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🚨 Principais pegadinhas

• Razão → comparação entre grandezas.
• Proporção → igualdade entre razões.
• A ordem dos termos da razão importa.
• Diretamente proporcionais: aumenta → aumenta.
• Inversamente proporcionais: aumenta → diminui.
• Regra de três só deve ser utilizada quando existe uma relação proporcional adequada.
• Na escala, observe as unidades.
• Na divisão proporcional, primeiro some as partes proporcionais.
• Na proporção, pode-se utilizar a multiplicação cruzada.

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📌 Resumo para memorizar

Conceito	Regra
Razão	Comparação por divisão
Proporção	Igualdade entre razões
Antecedente	Primeiro termo
Consequente	Segundo termo
Direta	Mais → mais
Inversa	Mais → menos
Regra de três	Encontra valor desconhecido
Divisão proporcional	Divide conforme uma razão
Escala	Desenho × realidade

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🧠 Mapa mental

RAZÃO E PROPORÇÃO

→ Razão → comparação → Proporção → igualdade de razões → Diretamente proporcional → mais ↔ mais → Inversamente proporcional → mais ↔ menos → Regra de três → descobrir valor desconhecido → Divisão proporcional → dividir conforme uma razão → Escala → desenho ↔ realidade

🎯 Regra de ouro

Razão compara; proporção iguala. Antes da regra de três, descubra se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.