Funções
Em Matemática, uma função relaciona elementos de dois conjuntos de forma que cada elemento do primeiro conjunto esteja associado a um único elemento do segundo conjunto.
Uma função pode ser representada por:
f(x) = y
Atenção: um mesmo valor de x não pode possuir dois valores diferentes de y em uma função.
1. Conceito de função
Considere:
f(x) = 2x + 1
Para cada valor de x, encontramos um único valor de f(x).
Exemplo
Se:
x = 2
Então:
f(2) = 2 · 2 + 1 = 5
Logo:
f(2) = 5
2. Domínio, contradomínio e imagem
Toda função envolve três conceitos importantes:
Domínio
É o conjunto dos valores que podem ser utilizados como entrada (x).
Contradomínio
É o conjunto onde estão os possíveis valores de saída.
Imagem
É o conjunto dos valores que realmente são obtidos pela função.
🧠 Dica
Domínio → entrada
Imagem → saída obtida
3. Representação
Uma função pode ser representada por:
f: A → B
Isso significa que a função relaciona os elementos do conjunto A com elementos do conjunto B.
Exemplo:
f(x) = x + 2
Se:
x = 3
Então:
f(3) = 5
4. Função do 1º grau
Uma função do primeiro grau possui a forma:
f(x) = ax + b
com:
a ≠ 0
Exemplo:
f(x) = 2x + 3
Nesse caso:
- a = 2
- b = 3
Gráfico
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta.
Crescimento
- a > 0 → função crescente.
- a < 0 → função decrescente.
🚨 Pegadinha: O número a é o coeficiente que determina o comportamento de crescimento ou decrescimento da função.
5. Função constante
É uma função em que o resultado é sempre o mesmo.
Forma:
f(x) = b
Exemplo:
f(x) = 5
Independentemente do valor de x:
f(1) = 5
f(10) = 5
f(100) = 5
Seu gráfico é uma reta horizontal.
6. Função do 2º grau
Possui a forma:
f(x) = ax² + bx + c
com:
a ≠ 0
Seu gráfico é uma parábola.
Concavidade
- a > 0 → parábola voltada para cima.
- a < 0 → parábola voltada para baixo.
7. Raiz ou zero da função
A raiz da função é o valor de x para o qual:
f(x) = 0
Exemplo
Considere:
f(x) = 2x - 6
Para encontrar a raiz:
2x - 6 = 0
2x = 6
x = 3
Logo, a raiz é:
x = 3
8. Função crescente e decrescente
Uma função é crescente quando, à medida que x aumenta, os valores de f(x) também aumentam.
Uma função é decrescente quando, à medida que x aumenta, os valores de f(x) diminuem.
Para uma função do 1º grau:
f(x) = ax + b
- a > 0 → crescente
- a < 0 → decrescente
9. Valor da função
Uma questão pode pedir o valor de uma função para determinado número.
Exemplo
f(x) = 3x + 2
Calcule f(4).
Substituindo:
f(4) = 3 · 4 + 2
f(4) = 12 + 2
f(4) = 14
🚨 Pegadinha: Quando aparecer f(4), significa que devemos substituir x por 4.
10. Composição de funções
A composição ocorre quando uma função é aplicada sobre o resultado de outra.
É representada por:
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
Exemplo
Se:
f(x) = x + 2
e:
g(x) = 3x
Então:
f(g(x)) = 3x + 2
🚨 Atenção: Na composição, a ordem importa:
f ∘ g geralmente é diferente de g ∘ f.
11. Função inversa
A função inversa desfaz a operação realizada pela função original, quando a função possui inversa.
É representada por:
f⁻¹(x)
Exemplo
Se:
f(x) = x + 3
Então:
f⁻¹(x) = x - 3
Porque uma operação desfaz a outra.
🚨 Pegadinha: f⁻¹(x) não significa, em geral, 1/f(x).
12. Como resolver questões de funções
Siga estes passos:
- Identifique a lei da função.
- Veja qual valor de x foi fornecido.
- Substitua o valor na função.
- Resolva a operação.
- Se a questão pedir a raiz, faça f(x) = 0.
- Se pedir crescimento/decrescimento, observe o coeficiente da função.
🚨 Principais pegadinhas
- Domínio → entrada.
- Imagem → valores de saída obtidos.
- f(3) significa substituir x por 3.
- Função do 1º grau → f(x) = ax + b.
- Função do 2º grau → f(x) = ax² + bx + c.
- 1º grau → gráfico é uma reta.
- 2º grau → gráfico é uma parábola.
- a > 0 na função do 1º grau → crescente.
- a < 0 na função do 1º grau → decrescente.
- Raiz da função → f(x) = 0.
- f⁻¹(x) não significa automaticamente 1/f(x).
📌 Resumo para memorizar
| Conceito | Regra |
|---|---|
| Função | Cada entrada possui uma única saída |
| Domínio | Valores de entrada |
| Contradomínio | Conjunto de possíveis saídas |
| Imagem | Saídas efetivamente obtidas |
| 1º grau | ax + b |
| 2º grau | ax² + bx + c |
| 1º grau | Gráfico: reta |
| 2º grau | Gráfico: parábola |
| Raiz | f(x) = 0 |
| a > 0 | 1º grau crescente |
| a < 0 | 1º grau decrescente |
| f(g(x)) | Composição |
| f⁻¹(x) | Função inversa |
🧠 Mapa mental
FUNÇÕES
→ Domínio → entrada
→ Contradomínio → possíveis saídas
→ Imagem → saídas obtidas
→ 1º grau → ax + b → reta
→ 2º grau → ax² + bx + c → parábola
→ Raiz → f(x) = 0
→ Composição → f(g(x))
→ Inversa → desfaz a função
🎯 Regra de ouro
Função = cada entrada tem uma única saída. Para calcular f(x), substitua o valor de x na fórmula. Para encontrar a raiz, faça f(x) = 0.